Vorüberlegung:       Für |q| < 1 gilt: 1 1 - q = i=0   qi    =>  1 1 - x8   = i=0   x8·i
Damit ergibt sich
0 1 2 xk-1 1-x8 dx =  0 1 2 xk-1· i=0 x 8·i  dx =  0 1 2 i=0 x k-1+8i  dx =  i=0 0 1 2 x k-1+8i  dx = A 
Wir errechnen "nur" das Integral (hier noch ohne die Summenbildung):
0 1 2 x k-1+8i  dx  =    x  k+8·i    k+8i 0 1 2  =  1 k + 8i 1 2  k+8·i    -0  =  1 k + 8i 1 2k/2 · 16i
Weiter mit obiger Summe ...

 A =  i=0 0 1 2 x k-1+8i  dx  =  i=0 1 k + 8i 1 2k/2 · 16i  =  1 2k/2 i=0 1 16i  ·  1 k + 8i
Also ergibt sich folgende Beziehung:

i=0 1 16i  ·  1 8i + k  =  2k/2  ·  0 1 2 xk-1 1-x8 dx  = T(k)

Die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel lässt sich damit umschreiben

B = i=0 1   16i   4 8i+1 - 2 8i+4 - 1 8i+5 - 1 8i+6  = 4·T(1)  - 2·T(4)  - T(5)  - T(6)   =  0 1 2 2- 8x3- 2·x4- x5 1-x8 dx
Wir substituieren nun    y=x2   (damit dx=dy/2)     und erhalten nach wenigen elementaren Umformungen:

B = 0 1 16· 4- 2y3- y4- y5 16-y8 dy
Eine Polynomdivision des Klammerterms im Zähler und des Nenners mit dem Polynom y4+ y3+ y2+ 4·y+ 4 führt zu
B = 0 1 16· y-1 y4- y3+ 4·y- 4 dy
Für eine Partialbruchzerlegung formen wir den Nenner um:       y4- y3+ 4·y- 4  =  y2-2 · y2- 2·y+ 2
Die Partialbruchzerlegung:

B = 0 1 4y y2-2 dy  +   0 1 -4y+8 y2-2y+2 dy  =  0 1 4y y2-2 dy  -   0 1 4y-4 y2-2y+2 dy  +  0 1 4 y2-2y+2 dy =  2 ·    ln y2-2 0 1  -  2 ·    ln y2- 2y+ 2 0 1  +  4 ·  arctan y- 1 0 1  = 
2 ·   0-ln(2)  -  2 ·   0-ln(2)  +  4 ·   0- -π/4
 = π